10.1 Curvas definidas por medio de ecuaciones paramétricas

Sean $x$ e $y$ definidas en función de una tercera variable $t$ (a la cual llamaremos parámetro) mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

$$ x=f(t) \qquad y= g(t) $$

Podemos restringir a $t$ a un intervalo finito $[a;b]$. De esta forma la curva de ecuaciones paramétricas tendrá un punto inicial $\big(f(a),g(a)\big)$ y un punto final $\big( f(b), g(b)\big)$.

<aside> ⚠️ Diferentes conjuntos de ecuaciones paramétricas pueden representar la misma curva. De esta forma distinguimos una curva (conjunto de puntos) y una curva paramétrica (conjunto de puntos trazados de una forma específica).

</aside>

10.3 Coordenadas polares

Relación entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares $P = (x, y) = (r, \theta)$

$$ x = r \cdot \cos \theta \\ y = r \cdot \sin \theta $$

$$ r^2 = x^2 + y^2 \\ \tan \theta = \frac yx $$

<aside> ❗ También contemplamos valores de $r$ negativos

</aside>

$$ \begin{aligned} (r, \theta) &= (r, \space\theta + 2k \pi)\\ &= (-r, \space\theta + 2 (k + 1) \pi) \end{aligned} $$

Si considero $r ≥ 0$ y $0 ≤ \theta ≤ 2\pi$ considero una representación única para cada punto (unicidad).

Curvas polares

La gráfica de una ecuación polar $r = f(\theta)$ consiste de todos los puntos $P$ que tienen al menos una representación polar $(r, \theta)$ cuayas coordenadas satisfacen la ecuación.

Ejemplos

Cardioide $r = 1 + \sin{\theta}$

Rosa de cuatro pétalos $r = \cos{2\theta}$

Simetría

1. Si una ecuación polar permanece sin cambio cuando $\theta$ se reemplaza por $-\theta$ la curva es simétrica respecto al eje polar.
2. Si la ecuación no cambia cuando $r$ se ssutituye por $-r$ (o cuando $\theta$ se sustituye por $\theta + \pi$) la curva es simétrica respecto al origen de coordenandas.