12.1 Sistemas Vectoriales de Coordenadas

Fórmula de distancia en tres dimensiones

La distancia $|P_1P_2|$ entre los puntos $P_1 = (x_1, y_1, z_1)$ y $P_2 = (x_2, y_2, z_2)$ es

$$ |P_1P_2| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} $$

Ecuación de una esfera

Por definición una esfera es el conjunto de todos los puntos $P = (x,y,z)$ cuya distancia el centro $C = (h,k,l)$ es igual al radio $r$. Entonces la ecuación de una esfera es

$$ E = \{P \in \R^3: |PC| = r\} $$

$$ |PC| = r \implies |PC|^2 = r^2 \implies \boxed{(x-h)^2 + (y-k)^2+(z-l)^2 = r^2} $$

12.2 Vectores

Norma o longitud de un vector

Sea $\vec{u} \in \R^3$ tal que $\vec{u} = (x,y,z)$

$$ |\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} $$

Propiedades de vectores

Vector unitario

Sea $\vec{a} ≠ 0$, entonces existe un vector unitario $\vec{u}$ que posee la misma dirección que $\vec{a}$ y lo definimos como

$$ \vec{u} = \frac{a}{|a|} $$