Una función $f$ de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales $(x,y)$ de un conjunto $D$, un único número real $f(x,y)$.
Al conjunto $D$ lo llamamos dominio y al conjunto $\{f(x,y) \in \R: (x,y) \in D\}$ lo llamamos rango.
Si $f$ es una función de dos variables con dominio en $D$, entonces la gráfica de $f$ es el conjunto de todos los puntos $(x,y,z) \in \R^3$ tales que $z=f(x,y)$ y $(x,y) \in D$.
Las curvas de nivel de una función $f$ de dos variables son las curvas cuyas ecuaciones son $f(x,y) = k$ donde $k$ es una constante en el rango de $f$.
<aside> 💡 La función $f$ tendrá una pendiente abrupta donde las curvas de nivel son muy cercanas entre sí y viceversa.
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Podemos pensar las curvas de nivel como las trazas de la gráfica de $f$ en el plano horizontal $z=k$ proyectadas al plano $xy$.
Una función $f$ de tres variables es una regla que asigna a cada terna ordenada $(x,y,z)$ del conjunto $D \in \R^3$, un único número real $f(x,y,z)$.
Como es difícil imaginarse la gráfica de una función de tres variables podemos estudiarla mirando sus superficies de nivel $f(x,y,z) = k$ donde $k$ es una constante en el rango de $f$.
Definición
Sea $f$ una función de dos variables cuyo dominio $D$ contiene puntos arbitrariamente cercanos a $(a,b)$. Entonces, decimos que
$$ \lim_{(x,y)\to (a,b)} f(x,y) = L $$