Definición
La integral doble de $f$ sobre el rectángulo $R$ es
$$ \iint_R f(x, y)~dA = \lim_{m, ~n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^, y_{ij}^)~ \varDelta A $$
si el límite existe.
Una función $f$ se denomina integrable si el límite dado en la definición existe. Todas las funciones contínuas son integrables.
Si $f(x, y) \geq 0$ entonces el volúmen del sólido encerrado entre el rectángulo $R$ y la superficie gráfico de $f$ es
$$ V = \iint_R f(x, y)~dA $$
Se define el valor promedio de una función $f(x, y)$ definida sobre un rectángulo $R$ como
$$ f_{\text{prom}} =\frac{1}{A(R)} \iint_R f(x, y)~dA $$
Si $f(x,y) \geq 0$ la ecuación
$$ A(R)\cdot f_{\text{prom}} = \iint_R f(x, y)~dA $$
indica que la caja con base $R$ y altura $f_{\text{prom}}$ tiene el mismo volumen que el sólido que yace denbajo de la gráfica de $f$.