Sea $D$ un conjunto en $\R^2$ (región plana). Un campo vectorial sobre $\R^2$ es una función $F$ que asigna a cada punto $(x,y)$ en $D$ un vector bidimensional $F(x,y)$.
Como $F$ es un vector bidimensional podemos expresarlo en términos de sus funciones componenetes:
$$ F = \big(P(x,y), Q(x,y)\big) \ = P\cdot\hat{\text{\i}} + Q\cdot\hat{\text{\j}} $$
Una definición y notación anaáloga puede usarse para campos vectoriales sobre $\R^3$.
Si $f$ es una función escalar de dos variables, $\nabla f$ es un campo vectorial sobre $\R^2$ y se llama campo vectorial gradiente.
Un campo vectorial $F$ se denomina campo vectorial conservativo si es el gradiente de alguna función escalar, es decir, si existe una función $f$ tal que $F = \nabla f$. En esta situación, $f$ recibe el nombre de función potencial de $F$.
Si $F = P\cdot\hat{\text{\i}} + Q\cdot\hat{\text{\j}} + R\cdot\hat{\text{k}}$ es un campo vectorial sobre $\R^3$ y existen las derivadas parciales de $P, Q$ y $R$, entonces el rotacional de $F$ es el campo vectorial sobre $\R^3$ definido por
$$ \text{rot } F = (R_y - Q_z)\cdot\hat{\text{\i}} + (P_z - R_x)\cdot\hat{\text{\j}} + (Q_x - P_y)\cdot\hat{\text{k}} $$
Si $f$ es una función de tres variables que tiene derivadas parciales continuas de segundo orden, entonces
$$ \text{rot } \nabla f = 0 $$
Si $F$ es un campo vectorial definido en todo $\R^3$ cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas y $\text{rot } F = 0$, entonces $F$ es un campo vectorial conservativo.
Si $F = P\cdot\hat{\text{\i}} + Q\cdot\hat{\text{\j}} + R\cdot\hat{\text{k}}$ es un campo vectorial sobre $\R^3$ y existen $P_x,~Q_y,~R_z$, entonces la divergencia de $F$ es la función de tres variables definida pord