2021-08-18

Curva (definición)

Una curva $C$ es un conjunto de puntos en $\R^n$ que se puede describir como la imagen de una función contínua $\sigma(t)$, denominada una "parametrización de $C$", definida en algún intervalo $[a,b]$

$$ \sigma : [a,b] \to C $$

tales que $P \in C \iff \exists t \in [a,b] \text{ con } \sigma(t) = P$.

• Toda vez que usemos el término parametrización para una función $\sigma : [a,b] \to C$ se asumirá que es contínua y suryectiva (i.e. $\text{Im } \sigma = C$).
• La continuidad en la definición anterior implica la continuidad de todas sus coordenadas (es equivalente).
• Una curva resulta ser siempre acotada.
• Hay más de una forma de parametrizar la misma curva.

Curvas abiertas (definición)

Una curva es "simple, abierta" si no se corta a sí misma. Es decir si admite una parametrización $\sigma : [a,b] \to C \subset \R^n$ que es inyectiva en $[a,b]$.

• Una misma curva puede admitir parametrizaciones abiertas y otras cerradas.

Lema:

Sea $C$ una curva simple-abierta y sea $\sigma$ una parametrización contínua e inyectiva de $C$, $\sigma : [a,b] \to \R^n$, $\text{Im } \sigma = C$. Entonces

$$ P_n = \sigma(t_n) \to P_0 = \sigma(t_0) \iff t_n \to t_0 $$

Curva cerrada (definición)