Temas pendientes de vectores aleatorios

Teorema cambio de variable

$X$ v. a. continua con densidad $f$ tal que $X(\Omega) \subseteq U \subseteq \R^d$ con $U$ abierto y sea $\phi : U \to V \subseteq \R^d$ difeomorfismo $\mathcal{C}^1$.

Si consideramos el vector aleatorio $Y = \phi(X)$ entonces este tiene densidad

$$ f_Y (y) = \begin{cases} f\big(\phi^{-1}(y)\big)|\det \mathcal J_{\phi^{-1}}(y)| ~~&\text{si } y \in V \\ 0 ~~&\text{caso contrario} \end{cases} $$

Suma de variables aleatorias continuas

Dadas $X, Y$ v. a. continuas y $Z = X + Y$, resulta que

$$ f_Z = f_X \ast f_Y $$

Además

$$ F_Z = F_X \ast F_Y $$

Suma de exponenciales

Sea $(X_k){k=1}^n$ una familia de exponenciales independientes de parámetro $\lambda$ entonces $\sum{k=1}^n X_k \sim \Gamma(n, \lambda)$.

Funciones medibles de Borel de variables aleatorias independientes resultan independientes

Sean $X = (X_1, …, X_n)$ e $Y = (Y_1, …, Y_m)$ independientes. Dadas $g : \R^n \to \R^k$ y $h : \R^m \to \R^j$ medibles de Borel, resulta que

$$ g(X) \perp h(Y) $$