<aside> 📚 Para ampliar estos apuntes podés consultar:
N. Wolanski. "Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias", capítulo 6.
Apunte Diagramas de Fase por Nicolás Allo Gómez
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2021-11-08
Anteriormente estudiamos varias situaciones en donde la solución puede ser calculada de forma explícita. Sin embargo en la mayoría de los casos esa solución, que existe, no puede ser calculada.
Vamos a suponer que el sistema de ec. diferenciales bajo observación es autónomo, es decir, consideraremos ecuaciones de la forma
$$ X'(t) = F\big(X(t)\big) $$
donde $X: I \subset \R \to \R^n$ y $F : \varOmega \subset \R^n \to \R^n$ es un campo $C^1$ en $\varOmega$ abierto.
Obs: Por el teorema de existencia para sistemas como $F$ es $C^1$ resulta ser localmente Lipschitz. Tenemos existencia y unicidad de solución.
Sean $X_1 : I_1 \subset \R \to \R^n$ y $X_2 : I_2 \subset \R \to \R^n$ dos soluciones maximales del sistema autónomo $X' = F(X)$ entonces se tiene
$$ \{X_1(t) \space|\space t \in I_1\} \cap \{X_2(t) \space|\space t \in I_2\} = \emptyset $$
o bien
$$ \{X_1(t) \space|\space t \in I_1\} = \{X_2(t) \space|\space t \in I_2\} $$
Coloquialmente es decir que dos trayectorias dadas o bien son idénticas o bien no se cruzan.
Siempre podemos suponer que las condiciones iniciales están dadas en el instante $t_0 = 0$.
En efecto si $X(t)$ es tal que
$$ \begin{cases} X'=F(X) \\ X(t_0) = X_0 \end{cases} $$
Definimos $Y(t) = X(t + t_0)$. Luego $Y$ verifica
$$ \begin{cases} Y'=F(Y) \\ Y(0) = X_0 \end{cases} $$
Entonces si resolvemos el problema con dato inicial $0$ y hallamos $Y(t)$ luego tenemos que $X(t) = Y(t-t_0)$.