2021-10-25

Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales

Definición

Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden es un sistema de ecuaciones de la forma

$$ X'(t) = A(t)\cdot X(t) + b(t) $$

con $A(t) \in \R^{n\times n}$, $b(t) \in \R^n$ y $a_{ij}(t), \space b_j : I \to \R$ contínuas.

Cuando $b \equiv 0$ decimos que el sistema es homogéneo.

Si $b \not = 0$ decimos que es no-homogéneo.

Teorema de solución

El sistema

$$ \begin{cases} X'(t) = A(t) \cdot X(t) + b(t) \\ X(t_0) = X_0 \end{cases} $$

tiene solución en un entorno de $t_0$.

• Demostración

Sistemas Homogéneos

Teorema - Propiedad del conjunto de soluciones

Sea $I \subset \R$ un intervalo abierto. Sean $a_{ij}(t)$ funciones contínuas en $I$.