2021-09-01
Una superficie paramétrica es un conjunto de puntos del espacio que puede describirse por medio de dos parámetros.
$S$ es una superficie si existe una aplicación contínua $T : D \to \R^3$ dada por
$$ T(u,v) = \bigg(x(u,v), y(u,v), z(u,v)\bigg) $$
definida en un dominio elemental $D \subset \R^2$ tal que $(x,y,z) \in S$ si y sólo si existe $(u,v) \in D$ con $T(u,v) = (x,y,z)$. Es decir, $S = \text{Im } T$. En este caso llamamos a $T$ una parametrización de $S$.
Un vector $v$ se dice tangente a $S$ en el punto $P_0$ si es tangente a alguna curva $C$ que pasa por el punto $P_0$ y está contenida en $S$.
Definición:
Sea $S$ una superficie para la cual existe $T : D \to \R^3$ una paremetrización inyectiva, diferenciable en $(u_0, v_0) \in D$ tal que $T_u(u_0, v_0) \times T_v(u_0, v_0) ≠ (0,0,0)$. Entonces decimos que $S$ tiene plano tangente en $P_0 = T(u_0, v_0) = (x_0,y_0,z_0)$ y está dado por:
$$ \Pi_{P_0}: (x-x_0, y-y_0, z-z_0) \cdot \nu_{P_0} = 0 $$
donde $\nu_{P_0}$ está dada por
$$ \nu_{P_0} = \frac{T_u(u_0, v_0) \times T_v(u_0, v_0)}{||T_u(u_0, v_0) \times T_v(u_0, v_0)||} $$
$\Pi_{P_0}$ es el plano que pasa por $P_0$ con normal $\nu_{P_0}$.
Proposición → ¿Cómo demuestro que una superficie no tiene plano tangente en un punto?