Relación

DEF:

Sean $A$ y $B$ conjuntos

Una relación de $A$ en $B$ es un subconjunto cualquiera de $A \times B$.

<aside> 💡 $\mathcal R$ es una relación de $A$ en $B$ $\iff$ $\mathcal R \subseteq A \times B$

</aside>

<aside> ❗ El conjunto vacío $(\emptyset)$ es una relación posible ya que está siempre incluído en el producto cartesiano de dos conjuntos

</aside>

<aside> ❗ También es una relación posible el conjunto total: $\mathcal R = A \times B$

</aside>

• Como $A \times B \not = B \times A$, el orden de los elementos de los pares importa. No son iguales las relaciones de $A$ en $B$ y las relaciones de $B$ en $A$
• En vez de expresar: $(a, 1) \in \mathcal R_1$, diremos: $a \space \mathcal R_1 \space 1$ ("$a$ está relacionado con 1")

Formas de representación de relaciones

Ejemplo:

Sean $A = B = \mathbb R$, algunas posibles relaciones

$$ \mathcal R_6 = \{ (x, y) \in \mathbb R : x^2 = y^2 \} $$

$$ \mathcal R_7 = \{ (x, y) \in \mathbb R : x = y^2 \} $$

Relaciones de un conjunto en sí mismo

DEF:

$A = B : \mathcal R$ relación en $A \iff \mathcal R \subseteq A^2$

Propiedades

Sea $\mathcal R$ una relación en un conjunto $A$

1. Reflexividad

   Se dice que $\mathcal R$ es reflexiva si $\forall \space x \in A$ se tiene $x \space \mathcal R \space x$

   $$ \forall x \in A \quad x \mathcal\space R \space x $$

   

2. Simetría

   Se dice que $\mathcal R$ es simétrica si cada vez que $x \space \mathcal R \space y$ entonces $y \space \mathcal R \space x$

   $$ x \space \mathcal R \space y \iff y \space \mathcal R \space x $$