Una función de $A$ en $B$ es una asignación que a cada elemento de $A$ le asigna un (y exactamente un) elemento de $B$.
DEF:
Una relación $\mathcal R$ de A en B es una función si para cada $x$ en A existe un $y$ en B y exactamente uno, tal que $(x, y) \in \mathcal R$.
$\mathcal R$ es una función si:
$$ \forall x \in A, \exists! \space y \in B \space/\space x \space \mathcal R \space y $$
<aside> 💡 Dominio: $Dom(f) = \{x \in A: \exists \space y \in B \text{ con } f(x) = y\}$ (se hace cuando existe $x \in A$ que no tiene asignación en $B$)
</aside>
DEF:
Sea $f: A → B$ función
$Im(f) = \{y \in B: \exists\space x \in A \text{ con } f(x) = y\}$
Sean $f, g: A → B$ funciones. Entonces
$$ f = g \iff f(x) = g(x), \forall x \in A $$
Sea $f: A → B$ una función
$f$ es inyectiva si dos elementos distintos de $A$ siempre van a parar a dos elementos distintos de $B$.
$$ x_1 \not = x_2 \implies f(x_1) \not = f(x_2) $$
O equivalentemente:
$$ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 $$
<aside> 💡 $f: A \to B$ es inyectiva $\iff$$\exists \space g: B \to A \space / \space g \circ f = id_A$
</aside>
$f$ es sobreyectiva si $Im(f) = B$, es decir
$$ \forall \space y \in B, \space \exists \space x \in A \space / \space f(x) = y $$
<aside> 💡 $f: A \to B$ es sobreyectiva $\iff$$\exists \space g: B \to A \space / \space f \circ g = id_B$
</aside>
<aside> 💡 siempre se puede restringir el conjunto de llegada a la imagen de la función para volverla sobreyectiva
</aside>
$f$ es biyectiva si $f$ es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
O sea, $f$ es biyectiva si $f$ es función tal que:
$$ \forall \space y \in B, \space \exists! \space x \in A \space / \space f(x) = y $$