Sucesión definida por recurrencia

$$ \begin{cases} a_1 = 1 \\ a_{n+1} = 2\cdot a_n + 1 \end{cases} \space \forall n \in \N $$

$$ S_n = \begin{cases} \sum_{i=1}^{n+1} a_i = \sum_{i=1}^n a_i + a_{n+1} \\ \sum_{i=1}^1 a_i = a_1 \end{cases} \space \forall n \in \N $$

Relación entre sucesión recurrente y sumatoria

$$ S_n = \sum_{i=1}^n a_i $$

$$ S_1 = a_1 \quad\text{ y }\quad S_{n+1} = S_n + a_{n+1} \qquad \forall n \in \N $$

Teorema: Principio de inducción II

Sea $p(n)$ una proposición, $n \in \N$, una proposición sobre $\N$.

Si se cumple

1. Casos base: $p(1)$ y $p(2)$ Verdaderos

2. Paso inductivo: $\forall h ≥ 1$,

   $p(h)$ y $p(h+1)$ Verdaderos $\implies p(h+2)$ Verdadero

Entonces $p(n)$ es Verdadero, $\forall n \in \N$.

Teorema: Principio de inducción II corrido

Sea $n_0 \in \Z$ dado y sea $p(n)$, $n ≥ n_0$, una proposición sobre $Z_{≥ n_0}$

Si se cumple

1. Casos base: $p(n_0)$ y $p(n_0 +1)$ Verdaderos

2. Paso inductivo: $\forall h ≥ n_0$,

   $p(h)$ y $p(h+1)$ Verdaderos $\implies p(h + 2)$ Verdadero

Entonces $p(n)$ es Verdadero, $\forall n ≥ n_0$.