Proposición
Sea $A$ un conjunto con $\#A = m$ y sea $B$ un conjunto con $\#B = n$
Entonces la cantidad de relaciones que puedo formar de $A$ en $B$ es
$$ \#p(A \times B) = 2^{\#(A \times B)} = 2^{m \cdot n} $$
<aside> ❗ La cantidad de relaciones de $B$ en $A$ es la misma que la cantidad de relaciones de $A$ en $B$
</aside>
Consecuencia
Relaciones (de $A$) en $A$ con $\#A = m$
$$ \#p(A^2) = 2^{m^2} $$
Proposición
Sean $A$, $B$ conjuntos con $\#A = m$ y $\#B = n$.
Entonces
$$ \# \{f: A \to B : f \text{ función}\} = \#B^{\#A} = n^m $$
$$ \# \{f: B \to A : f \text{ función}\} = \#A^{\#B} = m^n $$
<aside> ❗ La cantidad de funciones de $B$ en $A$ NO es la misma que la cantidad de funciones de $A$ en $B$
</aside>
Observaciones: Supongamos que $A$ y $B$ son conjuntos finitos y sea $f: A \to B$ una función
Entonces