El vector diección a la recta secante a la curva que pasa por los puntos $P = r(t)$ y $Q = r(t+h)$ viene dado por $\overrightarrow {PQ} = Q - P = r(t+h) - r(t)$.

Observemos que el vector

$$ ⁍ $$

tiene la misma dirección y sentido que el vector $\overrightarrow {PQ}$.

DEF:

Decimos que $r$ es diferenciable en $t$ si existe el siguiente límite:

$$ r'(t) = \lim_{h → 0} \frac{r(t+h) - r(t)} h $$

Si $r'(t) ≠ 0$, decimos entonces que la parametrización admite una recta tangente en $P = r(t)$ y la misma viene dada por la e. paramétrica:

$$ \lambda \cdot r'(t) + r(t) $$

Teorema

$$ \text{Si } r(t) = \langle f(t), \space g(t),\space h(t)\rangle ⇒ r'(t) = \langle f'(t), \space g'(t), \space h'(t)\rangle $$

Entonces, ¿cómo se diferencia una curva?

1. Se escribe en coordenadas
2. Cada coordenada debe ser una función derivable en $t$.

Obs

Si llamamos T al vector tangente normalizado se tiene que

$$ T(t) = \frac {r'(t)}{|r'(t)|} $$

si $r'(t) ≠ 0$.

Ejemplo: