$$ (\Z, +, \cdot) $$

• Suma: Sean $a, b \in \Z$, entonces $a + b \in \Z$

  • Conmutativa: $\forall a, \space b \in \Z, \quad a + b = b + a$
  • Asociativa: $\forall a, \space b \in \Z, \space c \in \Z \quad (a + b) + c = a +( b + c ) = a + b + c$
  • Elemento neutro $0$: $\forall a \in \Z, \quad a + 0 = a$
  • Inverso aditivo: $\forall a \in \Z \quad \exists (-a) \in \Z$ que satisface $a + (-a) = 0$

• Producto: Sean $a, b \in \Z$, entonces $a \cdot b \in \Z$

  • Conmutativo: $\forall a, \space b \in \Z, \quad a \cdot b = b \cdot a$
  • Asociativo: $\forall a, \space b \in \Z, \space c \in \Z \quad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot( b \cdot c ) = a \cdot b \cdot c$
  • Elemento neutro $1$: $\forall a \in \Z, \quad a \cdot 1 = a$
  • Inverso aditivo: No se cumple que $\forall a \in \Z - \{0\}, \space \exists a^{-1} \in \Z$ o sea que $a \cdot a^{-1} = 1$

• Distributividad: $\forall a, \space b, \space c \in \Z, \quad a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

  También vale:

  • $0$ es absorbente: $0 \cdot a = 0$
  • Sean $a, \space b \in \Z$ con $a ≠ 0$ y $b ≠ 0$, entonces $a \cdot b ≠0$

Divisibilidad

Motivado porque en general si $a, \space d \in \Z$ con $d ≠ 0$, entonces $\frac ad \not \in \Z$

DEF:

Sean $a, \space d \in \Z$ con $d ≠ 0$

Se dice que $d$ divide a $a$ si $\exists k \in \Z$ tal que $a = k \cdot d$

Notación: $d|a \iff \exists k \in \Z: a = k \cdot d$

Dado $a \in \Z$

$$ \mathscr {Div}(a) = \{d \in \Z: d|a\} \subseteq \Z - \{0\} $$

$$ \mathscr {Div}_+(a) = \{d \in \N: d|a\} \subseteq \N $$

Observaciones:

Sean $a, \space d \in \Z$ con $d ≠ 0$

• $\forall d \in \Z$ con $d ≠ 0$, se tiene $d|0$ $\implies \mathscr {Div}_+(0) = \N$, $\mathscr {Div}(0) = \Z - \{0\}$

• $d|a \iff \pm d \space | \pm a \iff |d| \big| |a|$

• Sea $a ≠ 0$, entonces $d | a \implies |d| \leq |a|$

  $\implies$si $a≠0$, $\mathscr {Div}_+(a) \subseteq \{1, 2, ..., |a|\}$ y $\mathscr {Div}(a) \subseteq \{-|a|, ...,-1,1, ..., |a|\}$

  Por lo tanto, $\forall a≠0$, $a$ tiene finitos divisores en $\Z$.

• $\mathrm {Inv}(\Z) = \{\pm1\}$

• Si $d | a$ y $a|d$, entonces $|d| = |a|$