$$ f_x(x_0, y_0) = \lim_{h\to o} \frac {f(x_0 +h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} $$
$$ f_y(x_0, y_0) = \lim_{k \to o} \frac {f(x_0, y_0 + k) - f(x_0, y_0)}{k} $$
Estas representan la razón de cambio de $f$ cuando me muevo en la dirección de los ejes coordenados, dados por los vectores canónicos $\hat {\text{\i}}$ y $\hat {\text{\j}}$.
¿Qué sucede si queremos calcular la razón de cambio en otra dirección?
DEF:
Dado un vector unitario $\vec{u} = (a, b)$ se define la derivada direccional de $f$ en la dirección dada por $u$ a
$$ D_uf(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h \cdot a, y_0 + h \cdot b) - f(x_0, y_0)}{h} $$
$$ D_uf(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(P_0 + h \cdot \vec{u}) - f(P_0)}{h} $$
$$ D_{\hat {\text{\i}}}f = f_x \qquad D_{\hat {\text{\j}}}f=f_y $$
Si $f$ es diferenciable en $(x_0, y_0)$ y $\vec{u} = (a, b)$ (unitario) entonces
$$ D_uf (x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)\cdot a + f_y (x_0,y_0) \cdot b $$
$$ D_uf (x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \vec{u} $$
Equivalentemente, determinar el vector unitario $\vec{u}$ tal que $D_uf(x_0, y_0)$ sea lo más grande posible.
Sea $f: D \subset \R^2 \to \R$, $(x_0, y_0) \in D$, $f$ diferenciable en $(x_0, y_0)$.
El vector dirección $\vec{u}$ donde $D_uf(x_0, y_0)$ es máximo viene dado por