Ecuaciones diofánticas

$$ a\cdot x + b \cdot y = c $$

con $a, b, c \in \Z$

$a$ y $b$ no ambos nulos

Soluciones:

$$ \mathcal S = \{(x, y) \in \Z^2 : a \cdot x + b \cdot y\} $$

Recordamos la siguiente propiedad del MCD:

$$ d=(a:b) \iff \exists s, t \in \Z : d = s\cdot a + t \cdot b $$

Entonces, la ecuación diofántica

$$ a\cdot x + b \cdot y = c \iff d|c $$

También podemos ✨C O P R I M I Z A R✨ y plantear la siguiente equivalencia:

$$ a\cdot x + b \cdot y = c \iff \frac ad\cdot x + \frac bd \cdot y = \frac cd $$

Proposición

Sea

$a\cdot x + b \cdot y = c$

$a$ y $b$ no ambos nulos

con $a, b, c \in \Z$

$\mathcal S = \{(x, y) \in \Z^2 : a \cdot x + b \cdot y\}$

Entonces

$$ \mathcal S ≠ \emptyset \iff (a:b) | c $$

¿Cómo son todas las soluciones cuando $(a:b)|c$?

Algoritmo

1. ¿Tiene solución?

   Chequeo $(a:b)|c$

   Si no se cumple, $\mathcal S = \emptyset$ y terminé.

2. COPRIMIZO la ecuación:

   $$ a\cdot x + b \cdot y = c \iff \frac a{(a:b)}\cdot x + \frac b{(a:b)} \cdot y = \frac c{(a:b)} $$

   $$ a' = \frac a{(a:b)} \\ b' = \frac b{(a:b)}\\ c' = \frac c{(a:b)} $$

   con $a', b', c' \in \Z$

3. Sea $(x_0, y_0) \in \Z^2$ una solución particular

   ¿Cómo la encuentro?

   • A ojo

   • Aplicando el Algoritmo de Euclides

     $$ 1 = a'\cdot s + b' \cdot t \implies c' = a'\cdot \underbrace{s\cdot c'}{x_0} + b'\cdot \underbrace{t\cdot c'}{y_0} $$

     $$ a'\cdot x_0 + b' \cdot y_0 = c' $$