<aside> ❗ Sólo está definido en $\R^ 3$
</aside>
Si $a, b \in \R^3$, busco $c \in \R^3$ con la propiedad de que $c \perp a$ y $c \perp b$.
$$ a \cdot c = 0 $$
$$ \tag{1} a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3 = 0
$$
$$ b \cdot c = 0 $$
$$ \tag{2}b_1 c_1 + b_2 c_2 + b_3 c_3 = 0 $$
Como tengo dos ecuaciones homogéneas y tres incógnitas $(c_1, c_2, c_3)$, el sistema va a ser compatible indeterminado. Es decir, hay más de un vector $c$ perpendicular a $a$ y $b$.
$$ \boxed {a \times b = (a_2 b_3 - a_3b_2) \space \mathrm {\hat{i}} - (a_1b_3 - a_3b_1) \space \mathrm {\hat{j}} + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \space \mathrm {\hat{k}}} $$
Para recordar esta fórmula podemos pensarla como el pseudo-determinante de la siguiente matriz de 3x3, desarrollada por la primera fila:
$$ a \times b = \begin{vmatrix} \mathrm{\hat{i}} & \mathrm{\hat{j}} & \mathrm{\hat{k}} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix} $$
Ahora, si hay infinitos vectores $c$ perpendiculares a $a$ y $b$, ¿por qué elegimos este vector $c$ en particular?
Entiendo que: porque es el único que cumple con las siguientes propiedades.
Adicionalmente, el proucto vectorial cumple la regla de la mano derecha.
$$ \tag{1} a \times b \perp a \\ a \times b \perp b $$
$$ \tag{2} a \times a = 0 $$
$$ \tag{3} a \times b = -(b \times a) $$
$$ \tag{4} t \in \R \\ (t\space a) \times b = t \space (a \times b) = a \times (t \space b) $$
$$ \tag{5} a \times (b + c) = a \times b + a \times c $$
$$ \tag{6} a \cdot (b \times c) = (a \times b) \cdot c $$
$$ \tag{7} a \times (b \times c) = (a \cdot c) \cdot b - (a \cdot b) \cdot c $$
La dirección del producto vectorial ya la sabemos: es perpendicular a los dos vectores.
El sentido del producto vectorial responde directamente a la regla de la mano derecha.
En cuanto a la magnitud, tenemos un teorema:
$$ |a \times b | = |a| \space |b| \space \sin{\theta} $$