Relación entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares $P = (x, y) = (r, \theta)$
$$ x = r \cdot \cos \theta \\ y = r \cdot \sin \theta $$
$$ r^2 = x^2 + y^2 \\ \tan \theta = \frac yx $$
<aside> ❗ También contemplamos valores de $r$ negativos
</aside>
$$ (r, \theta) = (r, \theta + 2\cdot k \cdot \pi) = (-r, \theta + 2 \cdot (k + 1) \cdot \pi) $$
Si considero $r ≥ 0$ y $0 ≤ \theta ≤ 2\pi$ considero una representación única para cada punto (unicidad).
Una curva polar es aquella que se describe mediante la fórmula $r = f(\theta)$ con $f: \R \to \R$.
$r = 2$
$r = 2 \cdot \cos \theta$ lo que equivale a $(x - 1)^2 + y^2 = 1$
$\theta = 1$
Rosa de cuatro pétalos $r = \cos {(2 \cdot \theta)}$
Tomando un punto $F$ (de foco) y una recta directriz del plano definimos a la parábola como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que están a igual distancia del foco y de la recta.
<aside> ❗ La parábola de foco $F$ y directriz $\{y = -p\}$ consiste en todos los puntos $P = (x, y)$ tales que:
</aside>
$$ \sqrt {x^2 + (y-p)^2} = y + p $$
$$ y = \frac {1}{4p} \cdot x^2 $$
donde $\frac {1}{4p} = a$
¿Cómo se parametriza una parábola?
Como las parábolas son funciones, puedo parametrizarlas como a cualquier función en $\R^2$:
$$ \mathcal C = \begin{cases} x = t \\ y = a \cdot t^2 \end{cases} $$