Derivadas en una variable reloaded 🤘

• ¿Qué es la recta tangente a un gráfico?

La recta tangente es aquella que mejor aproxima a $f$ entre todas las rectas. Es decir, si llamamos $l(x)$ a la recta tangente en $x_0$:

$$ l(x) = m (x - x_0) + f(x_0) \quad\text{tal que } f(x) = l(x) + \text {error} $$

$$ \text{Entonces: } \quad f(x) = m (x - x_0) + f(x_0) + \text {error} $$

$$ \text {y: $$\quad$$error} = f(x) - f(x_0) - m (x - x_0) $$

Tener una buena aproximación significa que el error debe ser pequeño en términos relativos. Esto es

$$ \text {error} << |x-x_0| \implies \frac {\text{error}}{|x - x_0|} \underset{x \to x_0} \longrightarrow 0 $$

$f(x)$ tiene una recta tangente $l(x)$ en $x_0$ si

$$ l(x) = m (x - x_0) + f(x_0) \quad \text{y} \quad \lim_{x \to x_0} \frac {f(x) - l(x)}{|x-x_0|} = 0 $$

Pero si

$$ \lim_{x \to x_0} \frac {f(x) - l(x)}{|x-x_0|} = 0 $$

$$ \begin{alignedat} {0} \text{Entonces} \qquad \frac {f(x) - f(x_0) - m (x - x_0)}{x - x_0} \underset{x \to x_0} \longrightarrow 0 \\ \\ \frac {f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - m \underset{x \to x_0} \longrightarrow 0 \end{alignedat} $$

Equivalentemente

$$ m = \lim_{x \to x_0} \frac {f(x) - l(x)}{x-x_0} = f'(x) $$

¿Cómo extendemos esto a funciones de más variables?

$$ z=L(x,y) = a(x-x_0) + b(y-y_0) + f(x_0, y_0) $$

Decimos que $z=L(x,y)$ es el plano tangente a $f$ en $(x_0, y_0)$ si es el plano que mejor aproxima al gráfico de $f$.

$$ \begin{aligned} f(x,y) = L(x,y) + \text {error} \\ \implies \text {error} &= f(x,y) - L(x,y) \\ \text {error} &= f(x,y) - f(x_0, y_0) - a(x-x_0) - b(y-y_0) \end{aligned} $$