Decimos que $f$ es diferenciable en $(a, b)$ si existen $f_x(a, b)$ y $f_y(a, b)$ y
$$ \lim_{(x,y) \to (a, b)}\frac {f(x,y) - f(a, b) - f_x (a, b)(x-a) - f_y (a, b)(y-b)}{\sqrt {(x-a)^2 + (y - b)^2}} = 0 $$
Si llamamos $\epsilon$ a este límite, esto es equivalente a
$$ f(x,y) = f(a, b) + f_x (a, b)(x-a) + f_y (a, b)(y-b) + \epsilon \cdot |(x-a, y-b)| $$
Con $\epsilon \to 0$ si $(x, y) \to (a, b)$
Si recordamos que
$$ |x-a| \leq |(x-a, y-b)| \\ |y-b| \leq |(x-a, y-b)| $$
$$ \begin{aligned} |(x-a, y-b)| &= \sqrt {(x-a)^2 + (y - b)^2} \\ &\leq \sqrt {2 \cdot \max\{(x-a)^2; (y - b)^2\}} = \sqrt2 \cdot \max \{|x-a|; |y - b|\}\\ &\leq \sqrt2 \cdot (|x-a| + |y - b|) \end{aligned} $$
Concluímos que la diferenciabilidad resulta equivalente a:
$$ \tag{1}f(x,y) = f(a, b) + f_x (a, b)(x-a) + f_y (a, b)(y-b) + \epsilon_1 \cdot |x-a| + \epsilon_2 \cdot |y-b| $$
con $\epsilon_1 \underset{x \to a}{\longrightarrow} 0$ y $\epsilon_2 \underset{y \to b}{\longrightarrow} 0$
Sea $z = f(x, y)$ una función diferenciable en $(a, b)$ y
$r(t) = \big( g(t), h(t) \big)$ una función vectorial tal que $r(t_0) = (a, b)$ y
$r$ es diferenciable en $t_0$.
Entonces $f \circ r$ es diferenciable en $t_0$ y
$$ (f \circ r)'(t_0) = f_x(a, b) \cdot g'(t_0) + f_y(a, b) \cdot h'(t_0) $$
Observación: