Quiero ver la esctructura de los conjuntos de nivel de una función $f: \R^2 \to \R$.

Caso general

$$ C_k = \Big\{(x,y) \in \R^2 : f(x, y) = k\Big\} \qquad \text{con } k \in \R $$

Busco si es posible despejar $y$ de $f(x, y) = k$ para que me quede una función $\phi: \R \to \R$.

Para eso:

1. Necesito que $k \in Imf$. Equivalentemente, existe $(x_0, y_0)$ tal que $f(x_0, y_0) = k$.
2. Despejar $y$ significa encontrar una función $y = \phi(x)$ tal que $f(x, \phi(x)) = k \quad \forall x \in \R$ y que $\phi(x_0) = y_0$.
3. $C_k$ es el gráfico de $\phi$ "cerca" del punto $(x_0, y_0)$.

¿Qué es linealizar?

Linealizar es cambiar $f$ por su mejor aproximación lineal.

Sea $(x_0, y_0) \in C_k \implies f(x_0, y_0) = k$

Luego

$$ f(x, y) = f(x_0, y_0) + \nabla f(x_0, y_0) \cdot(x-x_0, y-y_0) + \epsilon_f(x,y,x_0,y_0) $$

Si $f$ es diferenciable en $(x_0, y_0)$

$$ \implies \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{\epsilon_f(x,y,x_0,y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}} = 0 $$

Luego, podemos despreciar el error de aproximación.

$$ f(x,y) \approx \underbrace{k}{f(x_0,y_0)} + \underbrace{f_x(x_0,y_0) (x-x_0) + f_y(x_0, y_0)(y-y_0)}{\nabla f (x_0, y_0) \cdot (x-x_0, y-y_0)} $$

Entonces puedo aproximar $f(x,y) = k$ como

$$ k + f_x(x_0,y_0) (x-x_0) + f_y(x_0, y_0)(y-y_0) = k $$

$$ \implies y = y_0 - \frac{f_x(x_0,y_0)}{f_y(x_0, y_0)}(x-x_0) $$