En una variable

$$ f: I \to \R $$

$n$ veces derivable en $I$ (es decir, es $C^n$ en $a$)

$a \in \R$

Llamamamos Polinomio de Taylor en orden $n$ de $f$ en $a$:

$$ P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2} (x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$

$P_1(x)$ es exactamente la ecuación de la recta tangente a $f$ en $a$.

$P_n(x)$ aproxima a $f(x)$ cerca de $a$.

McLaurin: polinomio de Taylor si $a = 0$.

Propiedades

1. $P_n(x)$ es el único polinomio $Q(x)$ de grado $\leq n$ tal que

   $$ f(a) = Q(a)\\ f'(a) = Q'(a)\\ \vdots \\ f^{(n)}(a) = Q^{(n)}(a) $$

2. Si denominamos resto (o error) de orden $n$ de $f$ en $a$:

   $$ R_n(x) = f(x) - P(x) $$

   $P_n(x)$ es el único polinomio $Q(x)$ de grado $≤ n$ que cumple:

   $$ \lim_{x\to a} \frac{R_n(x)}{(x-a)^n} = 0 $$

   Podemos decir que

   $$ f(x) = P_n(x) + R_n(x) $$

3. Fórmula de Lagrange de ****$R_n(x)$

   $F: I \to \R$ y $f$ es $C^{n+1}$ en $I$, entonces

   $$ R_n(x) = f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} $$

   $c$ es un punto desconocido que está entre $a$ y $x$.

<aside> 💡 Observación: Si calculo el Polinomio de Taylor de grado $n$ (o mayor) de una función polinómica de grado $n$, el polinomio resultante será equivalente a la función en todo su dominio.

</aside>

En más variables

Nos vamos a restringir a dos variables y al orden 2.

• $f: D \to \R$, donde $D$ es un disco abierto centrado en $P=(a, b)$.
• $f = f(x, y)$
• $f$ es $C^2$, es decir, existen $f_x, f_y, f_{xx}, f_{yy}, f_{xy} = f_{yx}$ en $D$ y son contínuas.