DEF:
$f = f(x,y)$ tiene un máximo local en $(a, b)$ si existe un disco $D$ centrado en $(a,b)$ tal que $\forall (x, y) \in D, \space f(x,y) ≤ f(a,b)$.
$f = f(x,y)$ tiene un mínimo local en $(c, d)$ si existe un disco $D'$ centrado en $(c,d)$ tal que $\forall (x, y) \in D', \space f(x,y) ≥ f(c,d)$.
El máximo local $(a,b)$ es máximo absoluto de $f$ si
$$ ⁍ $$
Análogamente definimos el mínimo absoluto.
Proposición:
Supongamos que $f$ tiene un extremo local en $(a,b)$ y además $f$ tiene derivadas parciales. Entonces ambas derivadas parciales deben valer cero.
$$ \begin{cases} f_x(a,b) = 0 \\ f_y(a,b) = 0 \end{cases} $$
DEF:
Llamamos puntos críticos de $f = f(x,y)$ a los puntos
$$ (a,b) \in \text{Dom}(f) : \begin{cases} f_x(a,b) = 0 \\ f_y(a,b) = 0 \end{cases} $$
También llamaremos puntos críticos de $f$ a los puntos
$$ (c,d) \in \text{Dom}(f) : \text{no exista alguna de las derivadas parciales en $(c,d)$}
$$
<aside> 💡 Punto silla: un punto (típicamente en un paraboloide hiperbólico) que es máximo local en una dirección pero mínimo local en otra.
</aside>