Calcular extremos de funciones $f$ de $\R^2$ ó $\R^3$ en dominios dados por ecuaciones (una curva $\mathscr C =\{(x,y) \in \R^2: g(x,y) = k\}$ en $\R^2$, una superficie $\mathscr S =\{(x,y,z) \in \R^3: g(x,y,z) = k\}$).

La clase pasada resolvimos este problema parametrizando la curva y en otro caso despejando y reemplazando en la función. Ambos métodos son válidos, pero hay veces que no podemos aplicarlos.

Para resolver estos problemas de forma general utilizaremos Multiplicadores de Lagrange.

Teorema de Multiplicadores de Lagrange

Versión 1

Sea $f$ una función de dos o tres variables considerada en un dominio dado por una ecuación $g$ (de dos o tres variables).

Si

• $f$ tiene un extremo local en el punto $P$.
• Tanto $f$ como $g$ son diferenciables en $P$.
• $\nabla g (P)$ NO es el vector nulo.

Entonces

$$ \nabla f(P) = \lambda \nabla g(P) $$

A este $\lambda$ lo llamaremos Multiplicador de Lagrange.

Versión 2

Sea $f$ una función de tres variables con dominio en la curva $\begin{cases} g(x,y,x) = k \\ h(x,y,z) = l \end{cases}$

Si

• $f$ tiene un extremo en el punto $P$
• $f$, $g$, $h$ son diferenciables en $P$
• $\nabla g (P)$ y $\nabla h (P)$ no son múltiplos entre sí ni son nulos.

Entonces