Definiciones

En $\R$

DEF:

$f: [a,b] \to \R$

Sea el intervalo $[a,b]$ particionado en $n$ partes.

$$ \lim_{n\to + \infin} \sum_{i=1}^n \Big[f(x_i^*) \cdot \Delta x\Big] = \int_a^b f(x) \cdot dx $$

Donde $x_i^*$ es un punto representativo de la partición $x_i$ del intervalo $[a,b]$.

$\Delta x$ es la variación en $x$ que también puede calcularse como $\frac{b-a}{n}$ (la longitud del intervalo sobre la cantidad de partes en las que se lo divide).

<aside> ❗ La igualdad vale SI Y SÓLO SI el límite existe.

</aside>

Observación:

• Si la función es positiva la integral mide el área de la figura comprendida entre $[a,b]$ y la gráfica $y=f(x)$)
• Si $f$ es contínua $\implies f$ es integrable.
• $f_{\text{promedio}} = \dfrac{\int_a^b f(x) \cdot dx}{b-a}$

En $\R^2$

$f: [a,b] \times [c,d] \to \R$

Sea el intervalo $[a,b]$ particionado en $n$ partes y el intervalo $[c,d]$ particionado en $m$ partes.

Sean los puntos $(x_i^, y_j^)$ los puntos representativos de las particiones del rectángulo $R =[a,b] \times [c,d]$.

Y sea $\Delta A = \dfrac{b-a}{n} \cdot \dfrac{d-c}{m}$

DEF:

$$ \lim_{\substack{n \to \infin \\ m \to \infin}} \sum_{j=1}^m \sum_{i-1}^n f(x_i^, y_j^) \cdot \Delta A =\iint_{R} f(x,y) \cdot dA $$