2021-09-20
Sea $S \subset \R^3$ una superficie que es el gráfico de una función $g$ de clase $C^2$ y $T : D \subset \R^2 \to \R^3$, $T(x, y) = \big(x, y, g(x,y)\big)$ una parametrización regular de $S$ donde $D \subset \R^2$ es una región donde vale el Teorema de Green.
Asumamos que $S$ está orientada por $\nu^+$, i. e., de forma tal que si camino por $\partial S$ con mi cabeza apuntando como $\nu^+$ la superficie queda a mi izquierda.
Si $F$ es un campo de clase $C^1$ definido en $S$, entonces
$$ \int_S \text{rot } (F) \cdot dS = \iint_S \nabla \times F \cdot \nu dS = \int_{\partial S^+} F \cdot dS = \int_{\partial S ^+} F \cdot \tau d \ell $$
<aside> 💡 Podemos usar el Teorema de Strokes sobre superficies que sean la unión de superficies gráfico.
</aside>
2021-09-22
Intuición:
Si $S \subseteq \R^3$ es una superficie orientada con una cierta normal $\eta$, entonces la orientación positiva del borde $\partial S$ (notamos $\partial S^+$), es aquella que se obtiene si al caminar por $\partial S$ con la cabeza apuntando en el mismo sentido que $\eta$ dejamos la superficie $S$ a nuestra izquierda.
En términos de parametrizaciones:
Sea $S \subseteq \R^3$ una superficie y $T : D \subseteq \R^2 \to \R^3$ una parametrización regular de $S$. Consideremos la orientación que $T$ induce sobre $S$ con su normal $\eta^T$. Supongamos además que $D$ es una región donde vale el Teorema de Green y que $\sigma : [a,b] \to \R^2$ es una parametrización regular a trozos de $\partial D^+$, es decir, con orientación positiva.
Luego $\gamma : [a,b] \to \R^3$ dada por $\gamma := T \circ \sigma$ es una parametrización regular a trozos de $\partial S$. Lo importante de esta parametrización es que da la orientación positiva de $\partial S$. Es decir
$\gamma$ parametriza $\partial S^+$ dándole la orientación positiva compatible con $\eta^T$.
Sea $S \subseteq \R^3$ una superficie y $T : D \subseteq \R^2 \to \R^3$ una parametrización regular de $S$ donde $D \subseteq \R^2$ es una región donde vale el teorema de Green. Supongamos que $T$ es de clase $C^2$ y que $\partial S^+$ es la orientación del borde de $S$ dada por $T(\partial D^+)$ que describimos arriba.