Frontera
DEF:
Decimos que un punto $P$ está en la frontera de $A$ $(P \in \partial A)$ si cumple:
Para cualquier radio $r>0$, el disco de radio $r$ centrado en $P$ contiene a su vez puntos que pertenecen a $A$ y puntos que NO pertenecen a $A$.
Extremos (absolutos) de funciones definidas en regiones
$$
f: A \subset \R^2 \to \R
$$
$A$ es un conjunto cerrado.
<aside>
💡 Decimos que $A \subset \R^2$ es cerrado si los puntos que están en el borde de $A$ (frontera de $A$ ó $\partial A$) forman parte de $A$.
</aside>
Buscamos extremos de $f$ en $A$.
1. $A$ es una curva
- Parametrizamos $A$ como la función $r(t):I \to \R^2$ para pasar a un problema en una variable.
- Ahora buscamos los extremos de $g(t): I \to \R$ tal que $g= f \circ r (t)$, y los extremos absolutos de $g$ serán los extremos absolutos de $f$.
Teorema de Weierstrass
$g: [a,b] \to \R$, contínua $\implies$ $g$ alcanza máximo y mínimo absolutos en $[a,b]$
2. Otros conjuntos en $\R^2$
Subconjunto compacto
DEF: $A \subset \R^2$ se llama compacto si cumple que
- $A$ es cerrado
- $A$ es acotado (es decir, existe un disco $D / A \subset D$)
- Buscamos extremos en el interior de $A$ $(A - \partial A)$. Si la función es buena, los puntos que buscamos son puntos críticos.
- Luego buscamos en la frontera de $A$ $(\partial A)$, que es lo mismo que el caso 1 donde $A$ es una curva.
Teorema de Weierstrass 2
$f: A \subset \R^2 \to \R$ contínua con $A$ compacto $\implies$$f$ alcanza máximo y mínimo absoluto en $A$.