2021-09-13

Teorema de Green

El teorema de Green da la relación que existe entre una integral curvilínea $\int_C F \cdot dS$ de un campo $F : \R^2 \to \R^2$ alrededor de una curva cerrada simple $C$ y una integral doble sobre la región plana $D$ encerrada por $C$.

<aside> 💭 Recordamos los tipos de regiones de Análisis I.

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Definimos regiones de Tipo III como aquellas que son de tipo I y II.

Vamos a enunciar el Teorema de Green sobre regiones de Tipo III, pero el teorema es generalizable.

Orientaciones de curvas cerradas

Una curva cerrada simple $C$ que es la frontera de una región de tipo I, II ó III tiene dos orientaciones: una recorriendo la curva en sentido contrario a las agujas del reloj y otra recorriendo la curva en el sentido de las agujas del reloj.

A la primera la llamaremos orientación positiva y escribiremos $C^+$.

A la segunda la llamaremos orientación negativa y escribiremos $C^-$.

<aside> 💡 Notemos que la orientación positiva también puede reconocerse de la siguiente forma: Si se recorre la curva C caminando en sentido positivo se deja la región D que encierra C a la izquierda.

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Teorema de Green (definición)

Sea $F = (P, Q)$ un campo vectorial de clase $C^1$ definido en un abierto $\varOmega$ de $\R^2$ y sea $C$ una curva en el plano, cerrada, simple, orientada positivamente y diferenciable por trozos; que encierra una región $D \subset \varOmega$. Entonces

$$ \int_{C^+} (P, Q) = \int_{C^+}(P\cdot dx + Q \cdot dy) = \iint_D \bigg(\frac{\partial Q}{\partial x}(x, y) - \frac{\partial P}{\partial y}(x, y)\bigg) \cdot dxdy $$

Para demostrar el teorema usamos demostramos dos lemas: