Forma abreviada

Forma abreviada de presentar a $P_2(x, y)$ de $f = f(x, y)$ en $P=(a, b)$

$f$ es $C^2$ en $D$ (disco centrado en $P$)

$$ P_2(x,y)= f(P) + \nabla f(P) \cdot (x-a, y-b) + \frac12 \cdot \begin{pmatrix} x-a & y-b \end{pmatrix} \cdot Hf(a, b) \cdot \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} $$

Donde $Hf$ es la Matriz Hesiana de $f$ en $P$:

$$ Hf(P) = \begin{pmatrix} f_{xx}(P) & \color{orange}f_{xy}(P) \\ \color{orange}f_{yx}(P) & f_{yy}(P) \end{pmatrix} $$

<aside> 💡 Las marcadas en naranja son iguales por el Teorema de Clairaut-Schwartz.

</aside>

• En tres variables

Fórmula de Lagrange del Resto $R_2(x, y)$

$f = f(x,y)$, $R_2(x,y) = f(x,y) - P_2(x,y)$

$F$ es $C^2$ en un disco $D$ centrado en $P=(x,y)$

En el segmento de extremos $(a,b)$ y $(x, y)$ hay un punto $Q=(c,d)$ (desconocido)

$$ R_2(x,y) = \frac{f_{xxx}(Q)}{6} \cdot (x-a)^3 + \frac{f_{xxy}(Q)}{2} \cdot (x-a)^2 \cdot (y-b) + \frac{f_{xyy}(Q)}{2} \cdot (x-a) \cdot (y-b)^2 + \frac{f_{yyy}(Q)}{6} \cdot (y-b)^3 $$

Observaciones:

1. Aparecen todas las derivadas parciales de orden 3 "escondidas", porque como la función es $C^2$ aplica el Teorema de Clairaut-Schwartz.

2. Todos los términos de $R_2(x,y)$ tienen grado $3$.

   Por este motivo

   $$ \lim_{(x,y) \to (a,b)} \frac{R_2(x,y)}{||(x,y) - (a,b)||} = \lim_{(x,y) \to (a,b)}\frac {\text{suma de términos de grado $$3$$}}{(x-a)^2 + (y-b)^2} = 0 $$

3. $Q$ entre $(x,y)$ y $(a,b)$ es el análogo a $c$ en la Fórmula de Lagrange del Resto para funciones de una variable.